Speaker: 
Doriano-Boris Pougaza
Date: 
Fri, 12/16/2011 -
14:00 to 16:00
Lieu: 
Amphi F3.06 Supélec
Résumé/Abstract: 
Lien entre la notion de Copule et la Tomographie

Membres du Jury :

M. Steeve zozor, Chargé de Recherche CNRS, GIPSA-LAB, Examinateur

M. Yannick BERTHOUMIEU, Professeur, Institut Polytechnique de Bordeaux-ENSEIRB-Matmeca,  Rapporteur

M. Christian GENEST, Professeur, McGill University, Examinateur

M. Jean-François BERCHER, Professeur associée ESIEE, Université de Paris-Est, Co-encadrant de Thèse

M. Pierre BESSIÈRE, Directeur de Recherche CNRS, Collège de France- LIG Grenoble, Examinateur 

M. Emmanuel MAZER, Directeur de Recherche CNRS, LIG Grenoble, Rapporteur

M. Ali MOHAMMAD-DJAFARI, Directeur de Recherche CNRS, Université Paris-Sud-SUPELEC, Directeur  de Thèse

 

 

Résumé :

Cette thèse porte sur le lien entre la tomographie et la notion de copule. La tomographie à rayons X consiste à (re)construire la structure cachée d'un objet (une densité de matière, la distribution d'une quantité physique, ou une densité de loi conjointe) à partir de certaines données obtenues ou mesurées de l'objet (les projections, les radiographies, les densités marginales). Le lien entre les mesures et l'objet se modélise mathématiquement par la Transformée à Rayons X ou la Transformée de Radon. Par exemple, dans les problèmes d'imagerie en géométrie parallèle, lorsqu'on a seulement deux projections à deux angles de 0 et pi/2 (horizontale et verticale), le problème peut être identifié comme un autre problème très important en mathématique qui est la détermination d'une densité conjointe à partir de ses marginales. En se limitant à deux projections, les deux problèmes sont des problèmes mal posés au sens de Hadamard. Il faut alors ajouter de l'information a priori, ou bien des contraintes supplémentaires. L'apport principal de cette thèse est l'utilisation des critères de plusieurs entropies (Rényi, Tsallis, Burg, Shannon) permettant d'aboutir à une solution régularisée.

Ce travail couvre alors différents domaines. Les aspects mathématiques de la tomographie via l'élément fondamental qui est la transformée de Radon. En probabilité sur la recherche d'une loi conjointe connaissant ses lois marginales d'où la notion de ``copule'' via le théorème de Sklar. Avec seulement deux projections, ce problème est extrêmement difficile. Mais en assimilant les deux projections (normalisées) aux densités marginales et l'image à reconstruire à une densité de probabilité, le lien se fait et les deux problèmes sont équivalents et peuvent se transposer dans le cadre statistique. Pour caractériser toutes les images possibles à reconstruire on a choisi alors l'outil de la théorie de probabilité, c'est-à-dire les copules. Et pour faire notre choix parmi les copules ou les images nous avons imposé le critère d'information a priori qui se base sur différentes entropies. L'entropie est une quantité scientifique importante car elle est utilisée dans divers domaines (en Thermodynamique, en théorie de l'information, etc). Ainsi, en utilisant par exemple l'entropie de Rényi nous avons découvert de nouvelles classes de copules. Cette thèse apporte de nouvelles contributions à l'imagerie, par l'interaction entre les domaines qui sont la tomographie et la théorie des probabilités et statistiques.